Calculo de Conicas (Parabola e Hiperbola)

 Parábola 

 Se obtiene una parábola cuando A o C valen 0 (No pueden valer 0 las dos, una tiene que tener valor diferente de 0) 

   A o C = 0

Ecuación estándar de la parábola: 

(Y - K) ² = 4p(x-h), Horizontal 

(x - h) ² = 4p(y-k),   Vertical

Elementos para graficar: 

Vértice: (h, k)                        Parámetro: p

Foco: (h+p, k), (h-p, k)           Lado recto: |4p|

Directriz: X = h + p    

Ejemplo:

Se tiene la ecuación y² - 6y = 16x -41 

Paso 1: Se coloca los términos con Y al lado derecho: 

                     y² - 6y = 16x -41

Paso 2: Sacar el trinomio cuadrado perfecto en ambos lados de la ecuación: 

y² - 6y + (-6/2)² = 16x - 41 + (-6/2)²  

y² - 6y + 9 = 16x - 41 + 9  

y² - 6y + 9 = 16x - 32

Paso 3: Factorizar ambos lados en la ecuación: 

(y - 3y)² = 16(x - 2)

Vértice = (2, 3)                    Directriz: (x - h) + 4,   x - 2 +4

                                                            x + 2 = x = -2

Foco = (6, 3)

  

 Hipérbola

 Se da una Hipérbola cuando los signos de A y C son contrarios. 

Signo de A ≠ Signo de C 

Ecuación Estándar: 

Horizontal 

     Vertical

Elementos para graficar la Hipérbola (Horizontal): 

Centro: (h, k)                                                 LR = 2b²/a

Focos:  (h + c, k)   (h - c, k)                           e = c / a

Vértices: (h + a, k)   (h - a, k)                         c² = a² + b²

Eje conjugado: (h, k + b)  (h. k - b) 

Asíntotas: b(x - h) + -  a(y - k) = 0 

Elementos para graficar la Hipérbola (Vertical): 

Centro: (h, k)                                                 LR = 2b²/a

Focos:  (h, k + c)   (h, k - c)                           e = c / a

Vértices: (h, k + a)   (h, k - a)                         c² = a² + b²

Eje conjugado: (h + b, k)  (h - b, k) 

Asíntotas: a(x - h) + -  b(y - k) = 0 

Ejemplo: 

Se tiene la ecuación 9 x² - 16 y² - 54 x + 64 y - 559 = 0

Paso 1: Agrupar los semejantes:   

                (9 x² - 54 x) - (16 y² - 64 y) = 559

Paso 2: Factorizar las expresiones con el máximo factor común de los coeficientes. 

                 9 (x²  - 6 x) - 16 (y² - 4 y) = 559

Paso 3: Formar trinomios cuadrados perfectos y mantener la igualdad al lado derecho: 

              9 (x²  - 6 x + 9) - 16 (y² - 6 y +4 ) = 559 + 81 - 64

Paso 4: Factorizar el trinomio y simplificar al lado derecho: 

              9(x - 3)² - 16 (y - 2)²  = 576

Paso 5: Dividir todo entre 576

            ( 9(x - 3)² - 16 (y - 2)² ) / 576 = 1

Paso 6: Simplificar las fracciones

            (x - 3)² /64    -   (y - 2)² / 36 = 1      a² = 64, b² = 36,  c = 100


Centro = ( 3, 2)

Focos = (3 + 10, 2)= (13, 2)    (3-10, 2)= (-7, 2)

Vértices = (3 + 8, 2)= (11, 2)    (3 - 8, 2)= (-5, 2)

LR = 2(36)/8 = 9

Eje Transverso = 2(6) = 12

Eje conjugado = 2(8)= 16

 e = 10/8 = 5/4 

Asíntotas = y - 2 = 6/8(x - 3) = 3x - 4y -1 = 0

Asintota2= y - 2= -6/8(x - 3) = 3x + 4y - 17 = 0