Álgebra (Demostración por inducción)

Demostración de sucesiones por inducción matemática

La idea fundamental bajo la cual se desarrollan demostraciones que pueden generalizarse para cualquier enunciado relativo a los números naturales, reciben el nombre de demostraciones de inducción matemática.

Para demostrar que p(n) es verdadera para cualquier número natural en donde existe un campo numérico determinado.

• P(n)  S= { n|n ∈Ｎ y p(n)} es verdadera

Pasos para la demostración por inducción matemática

1. Base de la inducción: Se verifica que funcione para un número natural p(1), para verificar si cumple con la propiedad y que sea equivalente a los conjuntos involucrados
2. Paso inductivo: Partiendo de la sustitución de hipótesis de inducción que un número natural cualquiera (k) cumple con la propiedad y se procede a demostrar que en consecuencia el número (k+1) también cumple con la propiedad p(k+1)

• Pruebe que para todo número natural:

1+2+ ... +n² = n(n+1)/2

Por base de inducción: p(1):

(1)= 1(1+1)/2   ⇒ 1=2/2 ,  1=1     es verdadera con p(1)

Por paso inductivo: p(k) y posteriormente p(k-1):

k=k(k+1)/2     ,      k+1=k+1(k+2)/2

Demostración con p(k+1):

⇒  k(k+1)/2 + k+1 = k+1(k+2)/2

 Desarrollo de la demostración: k²+k/2 + k+1 = k²+2k+k+2/2

∴  k²+3k+2/2 = k²+3k+2/2

A continuación te mostramos otras demostraciones por la inducción matemática

1)  Demostrar la fórmula

         1・2 + 2・3 + 3・4 + ... +n・(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

es válida para todo número natural n

Demostración. Sea p(n),      1・2 + 2・3 + 3・4 + ... +n・(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

Entonces p(1),      1・2  = 1・2 ・3 /3 = 2  es verdadera

Hipótesis inductiva: p(k) verdadera, es decir:

1・2 + 2・3 + 3・4 + ... + k・(k+1) + (k+1) (k+2) = (k+1) (k+2) (k+3)/3

Tesis: Por demostrar p(k+1), es decir:

1・2 + 2・3 + 3・4 + ... + k・(k+1) + (k+1) (k+2) = k(k+1) (k+2)/3

 Sumando (k+1)・(k+2) a ambos lados de la igualdad de la hipótesis inductiva se obtiene.

1・2 + 2・3 + 3・4 + ... + k・(k+1) + (k+1) (k+2) = k(k+1) (k+2)/3 + (k+1) (k+2)

    luego sólo queda restar que 

k(k+1) (k+2)/3 + (k+1) (k+2) = (k+1) (k+2) (k+3)/3

Factorizando por (k+1) (k+2), se tiene (k+1) (k+2) (1+k/3) = (k+1) (k+2) (k+3)/3

que es justamente la tesis deseada y lo que prueba que p(n) es verdadera para todo número natural n

2) Pruebe que para todo número natural n > 1 , el último dígito del número 2²n es 7.

Demostración

Denotando por p(n) la proposición a demostrar, podemos observar que para n:

n= 2, 2²n +1=7 y la proposición es verdadera

Nuestra hipótesis inductiva es para n= k, es decir aceptamos que el último dígito de 2²k+1 =7

Tesis: Por demostrar que el último dígito de 2²k+1 +1 es 7

Notando que 2²k+1 +1 = (2²k+1)² - 2(2²k+1) + 2 podemos concluir con la ayuda de la hipótesis inductiva que el último dígito de (2²k+1)² es 9, el último dígito de 2(2²k+1) es 4 que luego al restarlos y sumarle 2, se demuestra la proposición.

3) Demuestre que para todo número natural n > 2

1/√ 1 + 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√n > √n

Demostración:

Sea p(n) la proposición dada, luego para n=2, se tiene que 1+ 1/√2 > √2. La proposición es verdadera.

Hipótesis: n=k

1/√ 1 + 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√k > √k

Tesis: n= k+1, por demostrar que

1/√ 1 + 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√ k  + 1/√k+1 > √k+1

Sumando 1/√k+1 a la igualdad de la hipótesis inductiva se tiene

1/√ 1 + 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√k + 1/√k+1 > √k + 1/√k+1

Como:

√k + 1/√k+1 = √k(k+ 1)+1/√k + 1 = √k²+k+1/√k + 1 > k + 1/√k + 1 = √k + 1

se concluye la demostración.

Más ejercicios en este link:

https://drive.google.com/open?id=1lxtvgP3s9pB9ZRTbomi9EjHUkn-gnLykutw1ulAzUK0