Calculo de Conicas (Circunferencia y Elipse)

Toda sección cónica esta definida en base a la Ecuación general de segundo grado 

: A x² + B xy + C y² + D x + E y + F = 0  

Para calcular todos los elementos de las Secciones Cónicas,  B tiene que se igual a 0.

Circunferencia 

Una circunferencia solo se dará cuando A  y C sean iguales (Mismo valor) y diferentes de 0.

A=C,   A ≠ 0,   C≠0

La ecuación estándar o canónica de esta cónica es (Cuando su centro se encuentra en el origen: 

x ² + y ² = r²

Cuando su centro esta fuera del origen: 

(x - h)² + (y - k)² = r² 

Los elementos que se deben calcular para su correcta graficacion son: 

Centro:  h=-D/2   k=-E/2

Radio: 1/2  √D²+E²-4F

Ejemplo: 

Se tiene la ecuación    X² + Y² - 14x - 8y +40 determinar si representa o no una circunferencia, en caso de serlo calcular el Centro y el Radio 

Radio 

   r= 1/2 √(-14)²+(8)²-4(40)

   r= 1/2 √ 196 + 64 - 160

   r=1/2 √ 100

   r = 5 

Centro  

  h= -(-14)/2  = 7  

                                               Centro = (7, 4)

  k= -(-8)/2 = 4

   

 

Elipse  

Se dará una elipse cuando A y C sean del mismo signo.

A=C (Signo, no importa si el valor es diferente)

La ecuación canónica o estándar cuando su centro esta fuera del origen es: 

  Horizontal 

  Vertical       

   

Elementos para graficar la elipse (Horizontal): 

Foco: (h + c, k)   (h - c, k)                      Eje Mayor = 2a

                                                              

Vértices: (h + a, k)  (h - a, k)                  Eje menor = 2b 

B : (h, k + b)  (h, k - b)                           Distancia focal = 2c

Lado recto = 2b²/a            

Elementos para graficar la elipse (Vertical): 

Foco: (h, k + c)   (h, k - c)                      Eje Mayor = 2a

                                                              

Vértices: (h, k + a)  (h, k - a)                  Eje menor = 2b 

B : (h + b, k)  (h + b, k)                           Distancia focal = 2c

Lado recto = 2b²/a    

Ejemplo:        

Teniendo la ecuación 9 x² + 16 y² - 90 x + 96 y + 225 = 0 , Calcular todos sus datos: 

Paso 1: Agrupar los semejantes:   

                (9 x² - 90 x) + (16 y² + 96 y) = - 225

Paso 2: Factorizar las expresiones con el máximo factor común de los coeficientes. 

                 9 (x²  - 10 x) + 16 (y² + 6 y) = - 225

Paso 3: Formar trinomios cuadrados perfectos y mantener la igualdad al lado derecho: 

              9 (x²  - 10 x + (10/2)² ) + 16 (y² - 6 y + (6/2)² ) = - 225 + 225 + 144

Paso 4: Factorizar el trinomio y simplificar al lado derecho: 

              9(x - 5)² + 16 (y + 3)²  = 144

Paso 5: Dividir todo entre 144 

            ( 9(x - 5)² + 16 (y + 3)² ) / 144 = 1

Paso 6: Simplificar las fracciones

            (x - 5)² /16    +   (y + 3)² / 9 = 1      a = 4, b = 3,  c = √7

Centro = (5, -3) 

V = (5 + 4, -3) = (9, -3),            V2 = (5 - 4, -3)= (1, -3) 

F = (5 + √7, -3) =  (7.64, -3)     F2 = (5 - √7, -3)= (2.35, -3)

EM = 2(4) = 8                Em = 2(3) = 6       LR = 2(3)²/4 = 18/4 = 4.5 

e =  √7 / 4 = .66